大学受験の数学で誰もが一度は躓く不定方程式について、不定方程式の具体的な問題を使ってわかっているようでわかっていない「特殊解」、「合同式」などを解説していきます。
不定方程式の計算式やユークリッドの互除法などについても詳しく解説します。
数学の「不定方程式」とは
大学受験の数学で学ぶ不定方程式についてまずは特殊解や合同式について不定方程式の基礎を解説していきます。
不定方程式とは
不定方程式とは、一般に2つ以上の変数を含み、その中に未知数が1つ以上含まれる方程式のことを指します。この方程式において、未知数に対して制約条件が与えられないため、無数の解が存在することが特徴です。
不定方程式は、数学の代数学や数論などの分野で扱われます。
一般的に、不定方程式は、整数解を求めることが多く、その解法は非常に複雑です。不定方程式を解くためには、特殊解や一般解を求める必要があります。
特殊解とは、不定方程式の特定の解であり、一般解とは、不定方程式のすべての解を表す式です。
不定方程式の特殊解とは
不定方程式の特殊解とは、不定方程式の特定の解のことを指します。特殊解は、不定方程式の解を求めるために使用され、数学的な演算を用いて求めることができます。
不定方程式の特殊解は、その方程式の性質によって異なります。
例えば、ax + by = c の形の不定方程式において、aとbが互いに素である場合、この不定方程式は特殊解を持ちます。
この場合、特殊解は、x = c（mod b）かつy = (c – ax) / b という形式で表すことができます。
この特殊解を求めることによって、不定方程式の解を求めることができます。 また、不定方程式には、特殊解が存在しない場合もあります。この場合、不定方程式の解を求めるためには、一般解を求める必要があります。
合同式と不定方程式との関係は？
合同式と不定方程式は、数学的に密接に関係しています。合同式は、2つの整数の差が、ある整数nの倍数である場合に成立する式のことを指します。
例えば、a ≡ b (mod n)は、aとbの差がnの倍数である場合に成立する式です。 不定方程式においても、整数解を求めるためには、合同式が用いられることがあります。
例えば、ax + by = cという不定方程式がある場合、この式をmod nで割った合同式を求めることで、不定方程式の解を求めることができます。
具体的には、ax + by ≡ c (mod n)という形式で式を変形し、この式を解いて、xとyの値を求めることができます。このように、合同式と不定方程式は、解法の面で密接に関係しています。
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不定方程式での整数解の求め方とは
ここでは具体的な不定方程式の解き方、求め方について解説していきます！何通りか不定方程式の解き方があるので是非参考にしてください！
不定方程式の解き方➀
1つ目の方法は、ユークリッドの互除法を用いる方法です。これは、ax + by = cという不定方程式が与えられた場合、aとbの最大公約数を求め、その最大公約数で割ることで、新たな方程式を作成する方法です。
この新しい方程式の解を求め、元の不定方程式に代入することで、整数解を求めることができます。
不定方程式の解き方②
2つ目の方法は、拡張ユークリッドの互除法を用いる方法です。これは、ユークリッドの互除法と同様に、aとbの最大公約数を求める方法です。
ただし、この方法では、最大公約数だけでなく、aとbの整数解も同時に求めることができます。これによって、元の不定方程式の整数解を簡単に求めることができます。
不定方程式の一般解の求め方とは？
不定方程式の一般解を求めるためには、一般的に、特殊解を求め、その特殊解を用いて一般解を導出する必要があります。具体的には、以下のステップに従って、一般解を求めることができます。
不定方程式の一般解の解法手順
不定方程式の一般解を求めるために必要な解法の手順を紹介します。
- 手順➀ 不定方程式を整理する 不定方程式をax + by = cという形式に整理します。ここで、aとbは整数であり、xとyは未知数です。また、cは、aとbの最大公約数で割り切れる整数でなければなりません。
- 手順②特殊解を求める 不定方程式の特殊解を求めます。特殊解は、不定方程式の解を求めるために使用されます。特殊解は、不定方程式の性質によって異なります。
- 手順③解の一般形を求める 特殊解を用いて、不定方程式の解の一般形を求めます。
一般解は、特殊解とaとbの最小公倍数を用いて表すことができます。
不定方程式の一般解の表現方法
具体的には、不定方程式の一般解は以下の式で表されます。
x = x0 + (b / d)n y = y0 – (a / d)n ここで、x0とy0は特殊解、dはaとbの最大公約数、nは整数です。
このようにして、不定方程式の一般解を求めることができます。
ただし、不定方程式の特殊解を求めることが困難である場合、一般解を求めることも難しい場合があります。
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不定方程式の特殊解の見つけ方
不定方程式の特殊解とは大学受験の数学において模試や共通テストで高得点を取るためには欠かせない解き方になります。ここでは不定方程式の特殊解の見つけ方について3パターンに分けて説明・解説していきます！
互いに素な解を持つ不定方程式の見つけ方
互いに素な係数を持つ一次不定方程式は、以下のような形式で表されるものです。
ax + by = c ここで、a, b, cは整数で、aとbは互いに素な数（最大公約数が1）であるとします。このとき、ベズーの定理により、cがaとbの最小公倍数の倍数であるならば、整数解が存在することが分かります。
不定方程式の特殊解の見つけ方➀：代入法を利用
代入法は、不定方程式の特殊解を見つける最もシンプルな方法です。この方法では、不定整数解を持つことが予想される値を任意の変数に代入して解を求めます。
代入法は、解の候補が限られている場合や、方程式が簡単な形式を持つ場合に特に有効です。使える場合が少ないと思われますが、共通テストで時間が限られる時や多くの問題を解き進めていく際に不定方程式の答えの大体の数字が予想できるときに使えることが多いです。
不定方程式の特殊解の見つけ方② ：因数分解を利用する
因数分解は、方程式を解く際によく用いられる手法です。不定方程式の特殊解を見つけるためには、方程式を因数分解できる形に変形することが重要です。
これにより、各因数に対応する解が求められます。因数分解を利用する場合は、因数分解できる形に気付く力が求められるため、数学的な直感を養うことが大切です。
因数分解を素早くできるようになることは不定方程式の解をより早く求めることに繋がり、かつ不定方程式ではなく他の数学の問題でもより早く正確に正解に導けるようになります。
不定方程式の特殊解の見つけ方③：等式の性質を用いる
不定方程式の特殊解を見つけるためには、等式の性質を利用することも有効です。例えば、偶数や奇数の性質を利用して、解が偶数であることや奇数であることを示すことができます。
また、約数や最小公倍数の性質を利用することで、解の範囲を絞り込むことができます。➀と同じように不定方程式の解を求めるのみでよい問題、共通テストなどでも時間がない時に特殊解の解を絞ることが可能となります。
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まとめ
いかがでしたでしょうか？
数学ⅠAの鬼門である不定方程式に関して勉強法に悩む受験生、高校生も多いと思います。少しでも数学、不定方程式についての不安が解消できればいいと思い書かせていただきました。
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